绪论  数学，一门改变世界的伟大学科

0.1  数学及其发展简史

0.1.1  数学的内涵

0.1.2  数学的分类与分支

0.1.3  数学的发展概况

0.2  数学精神与数学价值

0.2.1  数学精神

0.2.2  数学价值

0.3  数学思维、数学思想与数学方法

0.3.1  数学思维

0.3.2  数学思想

0.3.3  数学方法

0.3.4  数学思维、数学思想与数学方法之间的关联

0.4  数学的应用

第1章  函数与极限

1.1  映射与函数

1.1.1  映射的概念

1.1.2  函数的概念

1.1.3  函数的性质与四则运算

1.1.4  反函数与复合函数

1.1.5  初等函数

习题1.1

1.2  数列的极限

1.2.1  数列极限的概念

1.2.2  收敛数列的性质

习题1.2

1.3  函数的极限

1.3.1  函数极限的概念

1.3.2  函数极限的性质

习题1.3

1.4  极限的运算法则

1.4.1  数列极限的四则运算法则

1.4.2  函数极限的四则运算法则

1.4.3  复合函数极限的运算法则

习题1.4

1.5  极限存在准则与两个重要极限

1.5.1  准则Ⅰ与第一个重要极限

1.5.2  准则Ⅱ与第二个重要极限

习题1.5

1.6  无穷小量与无穷大量

1.6.1  无穷小量

1.6.2  无穷大量

1.6.3  无穷小量与无穷大量之间的关系

习题1.6

1.7  函数的连续性与间断点

1.7.1  函数的连续性

1.7.2  函数的间断点

习题1.7

1.8  初等函数的连续性与闭区间上连续函数的性质

1.8.1  初等函数的连续性

1.8.2  闭区间上连续函数的性质

^*1.8.3  函数的一致连续性

习题1.8

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第2章  导数与微分

2.1  导数的概念

2.1.1  导数的定义

2.1.2  导数的几何意义

2.1.3  函数的可导性与连续性的关系

习题2.1

2.2  函数的求导法则

2.2.1  函数的和、差、积、商的求导法则

2.2.2  反函数的求导法则

2.2.3  复合函数的求导法则

2.2.4  基本初等函数的导数公式

习题2.2

2.3  高阶导数

习题2.3

2.4  隐函数和由参数方程所确定的函数的求导法

2.4.1  隐函数的求导法

2.4.2  由参数方程所确定的函数的求导法

2.4.3  由极坐标方程所表示的函数的求导法

2.4.4  相关变化率

习题2.4

2.5  函数的微分及其应用

2.5.1  微分的定义

2.5.2  微分的几何意义

2.5.3  基本初等函数的微分公式与微分法则

2.5.4  微分在近似计算中的应用

习题2.5

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第3章  微分中值定理与导数的应用

3.1  微分中值定理

3.1.1  罗尔定理

3.1.2  拉格朗日中值定理

3.1.3  柯西中值定理

习题3.1

3.2  洛必达法则

习题3.2

3.3  泰勒公式

习题3.3

3.4  函数性态的研究

3.4.1  函数的单调性

3.4.2  函数的极值

3.4.3  函数的最值

3.4.4  曲线的凹凸性与拐点

习题3.4

3.5  函数图形的描绘

3.5.1  曲线的渐近线

3.5.2  函数作图

习题3.5

3.6  平面曲线的曲率

3.6.1  弧微分

3.6.2  曲率及其计算公式

3.6.3  曲率圆与曲率半径

^*3.6.4  渐屈线与渐伸线

习题3.6

3.7  方程的近似解

3.7.1  二分法

3.7.2  切线法

习题3.7

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第4章  不定积分

4.1  不定积分的概念与性质

4.1.1  原函数与不定积分的概念

4.1.2  不定积分的几何意义

4.1.3  不定积分的性质

4.1.4  基本积分公式

习题4.1

4.2  换元积分法

4.2.1  第一类换元积分法

4.2.2  第二类换元积分法

习题4.2

4.3  分部积分法

习题4.3

4.4  有理函数积分法

4.4.1  有理函数的不定积分

4.4.2  三角函数有理式的不定积分

习题4.4

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第5章  定积分

5.1  定积分的概念与性质

5.1.1  定积分的定义

5.1.2  定积分的几何意义

5.1.3  定积分的性质

习题5.1

5.2  微积分基本公式

5.2.1  积分上限函数及其导数

5.2.2  牛顿-莱布尼茨公式

习题5.2

5.3  定积分的换元积分法与分部积分法

5.3.1  定积分的换元积分法

5.3.2  定积分的分部积分法

习题5.3

5.4  反常积分

5.4.1  无穷区间上的反常积分

5.4.2  无界函数的反常积分

习题5.4

5.5  反常积分的审敛法与函数

5.5.1  无穷区间上的反常积分的比较审敛法

5.5.2  无界函数的反常积分的比较审敛法

^*5.5.3  函数

习题5.5

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第6章  定积分的应用

6.1  定积分的微元法

6.2  定积分在几何学上的应用

6.2.1  求平面图形的面积

6.2.2  求空间立体的体积

6.2.3  求平面曲线的弧长

习题6.2

6.3  定积分在物理学上的应用

6.3.1  求变力沿直线所做的功

6.3.2  求液体压力

6.3.3  求引力

习题6.3

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第7章  微分方程

7.1  微分方程的基本概念

习题7.1

7.2  一阶微分方程

7.2.1  可分离变量的微分方程

7.2.2  齐次方程

7.2.3  一阶线性微分方程

习题7.2

7.3  可降阶的高阶微分方程

7.3.1  型的微分方程

7.3.2   型的微分方程

7.3.3  型的微分方程

习题7.3

7.4  高阶线性微分方程解的结构

7.4.1  二阶齐次线性微分方程解的结构

7.4.2  二阶非齐次线性微分方程解的结构

习题7.4

7.5  常系数齐次线性微分方程

7.5.1  二阶常系数齐次线性微分方程

7.5.2  阶常系数齐次线性微分方程

习题7.5

7.6  常系数非齐次线性微分方程

7.6.1  型

7.6.2  型

习题7.6

^*7.7  欧拉方程

^*习题7.7

^*7.8  常系数线性微分方程组解法举例

^*习题7.8

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第8章  数学建模及应用

8.1  数学建模简介

8.1.1  原型与模型

8.1.2  数学建模的基本步骤

8.1.3  数学建模的特点

8.1.4  数学建模的意义

8.2  优化模型

8.2.1  生猪的出售时机

8.2.2  不允许缺货的存贮模型

8.2.3  森林救火模型

8.3  微分方程模型

8.3.1  人口增长模型

8.3.2  传染病模型

附录1  初等数学常用公式

附录2  常用曲线

附录3  积分表

参考答案

参考文献